ଉପରୋକ୍ତ ଚିତ୍ରରେ, ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସହିତ ସମାନ ଅଟେ ।

⇒ √2a = 2r

⇒ a = √2r

⇒ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = a2 = (√2r)2 = 2r2

ଉପରୋକ୍ତ ଚିତ୍ରରେ, ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଷଡ଼ଭୂଜର ପାର୍ଶ୍ୱ ସହିତ ସମାନ ।

ଏକ ଷଡ଼ଭୂଜ 6 ଟି ସମାନ ତ୍ରିଭୁଜକୁ ନେଇ ଗଠିତ,

⇒ ଷଡ଼ଭୂଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 6 × √3/4 × a2 = 6 × √3/4 × r2

∴ ଏକ ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ଏବଂ ନିୟମିତ ଷଡ଼ଭୂଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ=  2r2 : 6 × √3/4 × r2 = 4 : 3√3

ଦତ୍ତ:

ଆୟାତକାର କ୍ଷେତର ର ଲମ୍ବ = 32 cm

ଆୟାତକାର କ୍ଷେତର ର ପ୍ରସ୍ଥ = 20 cm

ଟାଇଲ ର ଲମ୍ବ = 4 cm

ବ୍ୟବହୃତ  ସୂତ୍ର:

ବର୍ଗ କ୍ଷେତ୍ର ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁ × ବାହୁ

ଆୟତକାର କ୍ଷେତ୍ର ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଲମ୍ବ × ପ୍ରସ୍ଥ

ଗଣନା:

ଆୟାତକାର କ୍ଷେତର ର ଲମ୍ବ = 32 cm

ଆୟାତକାର କ୍ଷେତର ର ପ୍ରସ୍ଥ = 20 cm

ଟାଇଲ ର ଲମ୍ବ = 4 cm

⇒ ଆୟତକାର କ୍ଷେତ୍ର ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (32 × 20) = 640 cm2

ଟାଇଲ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (4 × 4) = 16 cm2

⇒ ଟାଇଲ ର ସଂଖ୍ୟା  = (640/16) = 40

∴ଆୟତକାର କ୍ଷେତ୍ର ରେ ବିଛେଇବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହାର ହେଉଥିବା ଟାଇଲ ସଂଖ୍ୟା 40 ।

ଦିଆଯାଇଛି:

ବର୍ଗର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 32 ବର୍ଗ ସେମି

ବ୍ୟବହୃତ ସୂତ୍ର :

କ୍ଷେତ୍ର = (ପାର୍ଶ୍ୱ)2

କର୍ଣ୍ଣ = √2 × ପାର୍ଶ୍ୱ

ଗଣନା:

ଚାଲନ୍ତୁ, ବର୍ଗର ପାର୍ଶ୍ୱର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ହେଉ

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ,

x2 = 32

⇒ x = √32

⇒ x = 4√2

∴ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4√2 × √2 = 8 ସେମି

ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ  = 121 ସେମି²

ମନେକର ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 'a' ସେମି ହେବ।

⇒ a2 = 121 ସେମି2

⇒ a = 11  ସେମି

ବର୍ତ୍ତମାନ, ତାରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର ପରିଧି

⇒ ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 4 × 11 = 44 ସେମି

ଆହୁରି ମଧ୍ୟ, ତାରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = ବୃତ୍ତର ପରିଧି

⇒ 2πr = 44 ସେମି

⇒ 2 × 22/7 × ଆର = 44 ସେମି

⇒ r = 7 ସେମି

ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = πr2

∴ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = 22/7 × 7 × 7 = 154 ସେମି2

ଗଣନା:

ରମ୍ବସ୍ ର ସମସ୍ତ ପାର୍ଶ୍ୱ ସମାନ

ରମ୍ବସ୍ ର ପରିସୀମା = 100 ସେମି

⇒100 / 4 ସେମି

⇒ 25 ସେ.ମି.

ବ୍ୟବହୃତ ଧାରଣା:

କର୍ଣ୍ଣ ପରସ୍ପରକୁ  ସମାନ ଭାଗରେ ରେ ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତି |

ପାଇଥାଗୋରସ୍ ଥିଓରେମ୍ ବ୍ୟବହାର କରି, ଆମେ ଅନ୍ୟ ଏକ କର୍ଣ୍ଣର ମାପ ପାଇବା  |

ଗଣନା:

ମନେକର ଦ୍ୱିତୀୟ କର୍ଣ୍ଣ ଲମ୍ବ 2y ହେଉ |

ରୋମ୍ବସ୍ ର ଏକ ତ୍ରିକୋଣୀୟ ବିଭାଗ ଗ୍ରହଣ କରିବା ଏବଂ ପାଇଥାଗୋରସ୍ ଥିଓରେମ୍ ପ୍ରୟୋଗ କରିବା |

252 – 72 = y2

⇒ y2 = 625 – 49

⇒ y = 24 ସେମି

⇒ 2y = 48 ସେମି

ଦ୍ୱିତୀୟ କର୍ଣ୍ଣର ଲମ୍ବ = 48 ସେମି

ଏକ ରୋମ୍ବସ୍ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ  = ½  × ପ୍ରଥମ କର୍ଣ୍ଣ × ଦ୍ୱିତୀୟ କର୍ଣ୍ଣ

କ୍ଷେତ୍ରଫଳ  = ½ × 14 × 48 ସେମି2

⇒ 336 ସେମି2

∴ ରମ୍ବସ୍ ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହେଉଛି 336 ସେମି2 |

ଦିଆଯାଇଛି:

ଏକ ବୃତ୍ତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ  ହେଉଛି 13.86 ହେକ୍ଟର

ମିଟର ପ୍ରତି 4.40 ଟଙ୍କା ହାରରେ ଏହାକୁ ବାଡ଼ କରିବାର ମୂଲ୍ୟ

ବ୍ୟବହୃତ ସୂତ୍ର:

ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ  = π (ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ) 2

1 ହେକ୍ଟର = 10000 ବର୍ଗ ମିଟର

ଗଣନା:

ଉପରୋକ୍ତ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି, କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

⇒ πr2 = 13.86 × 10000

⇒ (22/7)r2 = 138600

⇒ r2 = (7/22) × 138600

⇒ r2 = 44100

⇒ r = 210 ମି

ବୃତ୍ତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ଲମ୍ବ = 2πr

ବୃତ୍ତାକାର କ୍ଷେତ୍ରର ଲମ୍ବ = 2 × (22/7) × 210 = 1320 ମିଟର

ତେଣୁ ଏହାକୁ ମିଟର ପ୍ରତି 4.40 ଟଙ୍କା ହାରରେ ବାଡ଼ର ମୂଲ୍ୟ।

⇒ 1320 × 4.4 = 5808

∴ ବାଡ଼ର ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି Rs 5808 ଟଙ୍କା। 

ପ୍ରଦତ୍ତ: 

ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 20% ବୃଦ୍ଧି କରାଯାଇଛି |

ପ୍ରସ୍ଥ 20% ହ୍ରାସ ପାଇଛି |

ବ୍ୟବହୃତ ସୂତ୍ର :

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ

ଗଣନା:

ମନେକର ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ x ଏବଂ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରସ୍ଥ y ହେଉ |

ତାପରେ, ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (x × y) = xy

ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 20% ବୃଦ୍ଧି କରାଯାଇଛି | = (x × 120/100) = 6x/5

ପ୍ରସ୍ଥ 20% ହ୍ରାସ ପାଇଛି | = (y × 80/100) = 4y/5

ତେବେ, ନୂତନ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (6x/5 × 4y/5) = 24xy/25

ବର୍ତ୍ତମାନ,

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହ୍ରାସ ପାଇଲା  = (xy – 24xy/25)

⇒ (25xy – 24xy)/25

⇒ xy/25

ତେବେ, ହ୍ରାସ% କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (xy/25 × 100)/xy

⇒ 4xy/xy

⇒ 4

∴ ଆବଶ୍ୟକ ହ୍ରାସ ପ୍ରତିଶତ 4% ହ୍ରାସ ଅଟେ |

ଦିଆଯାଇଥିବା:

ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 20% ବୃଦ୍ଧି ପାଇଲା

ବ୍ୟବହୃତ ସୂତ୍ର:

ଏକ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ର = πr²

r = ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ

ଗଣନା:

ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ r ହେଉ

ପ୍ରାରମ୍ଭିକ କ୍ଷେତ୍ର = πr²

ପରିବର୍ତ୍ତିତ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = 1.2r

ପରିବର୍ତ୍ତିତ କ୍ଷେତ୍ର = π(1.2r)² = 1.44(πr²)

କ୍ଷେତ୍ର ଦ୍ୱାରା ବୃଦ୍ଧି କରାଯିବ [{1.44(πr2) - πr²}/πr²] × 100

∴ କ୍ଷେତ୍ର 44% ବୃଦ୍ଧି ପାଇବ |

ଦିଆଯାଇଛି:

ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଲମ୍ବ ସମ୍ପୃକ୍ତ ଉଚ୍ଚତାଠାରୁ 6 ସେମି ଅଧିକ।

ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ  = 108 ବର୍ଗ ସେମି

ବ୍ୟବହୃତ ଧାରଣା:

ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ  = 1/2 × b × h

b = ଭୂମି

h = ଉଚ୍ଚତା କିମ୍ବା ଉଚ୍ଚତା

ଗଣନା:

ମନେକର, ଉଚ୍ଚତା H ସେମି ହେଉ

ତେଣୁ, ଭୂମି = (H + 6) ସେମି

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ,

1/2 × H × (H + 6) = 108

⇒ H2 + 6H - 216 = 0 |

⇒ H2 + 18H - 12H - 216 = 0

⇒ H (H + 18) - 12 (H + 18) = 0

⇒ (H + 18) (H - 12) = 0

H = - 18, 12

ଦୈର୍ଘ୍ୟ ନକାରାତ୍ମକ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ, ତେଣୁ H = 12

ତେଣୁ, ଭୂମି= 12 + 6 = 18 ସେମି

∴ ତ୍ରିଭୁଜର ଭୂମିର ଲମ୍ବ 18 ସେମି 

ଦିଆଯାଇଛି:

ଗୋଟିଏ କୋଠରୀର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ ଯଥାକ୍ରମେ 15 ମି 17 ସେମି ଏବଂ 9 ମି 2 ସେମି

ବ୍ୟବହୃତ ସୂତ୍ର:

ବର୍ଗର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ବାହୁ2

ବର୍ଗ ଟାଇଲର ସଂଖ୍ୟା = (ରୁମର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ) / ବର୍ଗ ଟାଇଲର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

ବ୍ୟବହୃତ ଧାରଣା:

1 ମି = 100 ସେମି

ଗଣନା:

ଦୈର୍ଘ୍ୟ = 15 ମି 17 ସେମି = (15 × 100 + 17) ସେମି = 1517 ସେମି

ପ୍ରସ୍ଥ = 9 ମି 2 ସେମି = (9 × 100 + 2) ସେମି = 902 ସେମି

ତେଣୁ, ବର୍ଗ ଟାଇଲ ଗୁଡିକର ଆକାର 1517 ଏବଂ 902 ର ଗ.ସା.ଗୁ.ହେବ।

⇒ 1517 = 37 × 41 ଏବଂ 902 = 2 × 11 × 41

ତେଣୁ, ବର୍ଗ ଟାଇଲର ଆକାର = 41 ସେମି

ବର୍ଗ ଟାଇଲର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (41 × 41) ବର୍ଗ ସେମି

ରୁମର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = (1517 × 902) ବର୍ଗ ସେମି

ବର୍ଗ ଟାଇଲର ସଂଖ୍ୟା = (ରୁମର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ) / ବର୍ଗ ଟାଇଲର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

⇒ ବର୍ଗ ଟାଇଲ୍ ସଂଖ୍ୟା = (1517 × 902) / (41 × 41) = 814

∴ ବର୍ଗ ଟାଇଲଗୁଡିକର ସର୍ବନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 814

ପ୍ରଦତ୍ତ:

ଏକ ତାର ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ବାହୁର ଆକାରରେ ଅଛି​ = 33 cm

ବ୍ୟବହୃତ ସୂତ୍ର:

ବୃତ୍ତର ପରିଧି  = 2πr

ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା = 4 × ବାହୁ

ଗଣନା:

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ

ତାରତୀର ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅଛି

ତେଣୁ,

ବୃତ୍ତର ପରିଧି = ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା

⇒ (2 × 22/7 × r) = 4 × 33

⇒ 44r/7 = 132

⇒ r/7 = 3

⇒ r = (7 × 3) ସେମି

⇒ r = 21 ସେମି

∴ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 21 ସେମି ଅଟେ |

ପ୍ରଦତ୍ତ:

ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମରେ, ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣ  ଅନ୍ୟକୁ 2 ∶ 7 ଅନୁପାତରେ ବିଭକ୍ତ କରେ |

ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତରାଳ ପାର୍ଶ୍ବ ଋ ବୃହତ ପାର୍ଶ୍ବ ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 42 ସେମି |

ବ୍ୟବହୃତ ଧାରଣା:

ଯେତେବେଳେ ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୂଜ ସମାନ, ସେମାନଙ୍କର ଅନୁରୂପ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଅନୁରୂପ ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡ଼ିକ ସମାନୁପାତିକ |

ଗଣନା:

ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ,

BD, AC କୁ 2: 7 ଅନୁପାତରେ ବିଭକ୍ତ କରେ |

ତେଣୁ, AE / EC = 2/7

BC = 42

ଯେହେତୁ AD ଏବଂ BC ପରସ୍ପର ସହିତ ସମାନ୍ତରାଳ, ΔAED ଏବଂ ΔCEB ସମାନ ତ୍ରିଭୂଜ |

ଧାରଣା ଅନୁଯାୟୀ,

AE/CE = AD/BC

⇒ 2/7 = AD/42

⇒ AD = (42 × 2)/7

⇒ AD = 12

∴ ଅନ୍ୟ ସମାନ୍ତରାଳ ପାର୍ଶ୍ୱର ଲମ୍ବ 12 ସେମି |

∴ ବିକଳ୍ପ 3 ହେଉଛି ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର |

ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ସମକୋଣର ଦୁଇ ପାଖରେ ଥିବା ପାର୍ଶ୍ଵ ଗୁଡିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 3 ସେମି ଏବଂ 4 ସେମି ଅଟେ।

⇒ କର୍ଣ୍ଣର ଦୈର୍ଘ୍ୟ = (3² + 4²)^1/2 = 5 cm

⇒ ପରିବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ = 5/2 = 2.5 cm

∴ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ= 22/7 × (2.5)² = 6.25π cm²

ପ୍ରଦତ୍ତ:

ବର୍ଗର ପାର୍ଶ୍ୱ = 8 ସେମି |

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଲମ୍ବ = 16 ସେ.ମି.

ବ୍ୟବହୃତ ସୂତ୍ର:

ବର୍ଗର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = ପାର୍ଶ୍ୱ2

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ= ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ |

ଗଣନା:

ବର୍ଗର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ  = 82 = 64 ସେମି2

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ= ଦୈର୍ଘ୍ୟ × ପ୍ରସ୍ଥ

⇒ 64 = 16 × ପ୍ରସ୍ଥ

⇒ ପ୍ରସ୍ଥ = 4 ସେମି

ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପ୍ରସ୍ଥ 4 ସେମି |